El aprendizaje del cálculo diferencial e integral presenta algunas aspectos interesantes desde el punto de vista de la investigación en Educación Matemática. Por ejemplo en el caso del concepto de límite, ¿Qué análisis realizan los estudiantes de un escuela formadora de docentes cuando se enfrentan con una función expresada como fracción común con radicales en el numerador y denominador? ¿Qué estrategias de solución proponen los estudiantes ante este tipo de situaciones?
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| Tema de tesis 108: Estudiar las respuestas de lo estudiantes a un problema de cálculo diferencial |
Herrera, Salazar, Hernández y Trejo (2013) realizan un estudio en el que abordan el límite de una función
expresada como fracción común con radicales en el numerador y denominador, para
analizar las propuestas hechas por estudiantes del sexto semestre de la carrera,
recategorizando en cuatro aspectos para conocer las dificultades que tuvieron, así
como las estrategias de solución que utilizaron ya que en algunos casos sólo
recordaban de forma superficial los teoremas relacionados con el concepto de límite.
Los mismos autores dan a conocer los resultados del análisis de las propuestas hechas por los estudiantes del sexto semestre de la licenciatura, a partir de cuatro
categorías: a) interpretación de la expresión con base en los teoremas correspondientes a límites;
b) condiciones necesarias y suficientes del rango y ámbito de la expresión; c) aplicación de los
axiomas de campo del conjunto de los números reales para encontrar la solución; d)
interpretación y solución de radicales.
Con base en esta categorización dan a conocer las
dificultades que tuvieron los estudiantes así como las estrategias de solución que propusieron. Por ejemplo mencionan lo siguiente:
- Al solicitarle a los estudiantes que después de observar la expresión, se
trabajara por parejas para explicar las características de la misma en términos de clasificar a la
expresión numérica del numerador y del denominador en el conjunto de los números reales R.
Notamos que el grupo observó e indagó el medio simbólico propuesto y en este sentido
empezamos a abordar la noción de límite y explorar los antecedentes que justifican esta idea
matemática, conceptos como: ε y δ; otra idea es el Teorema que estudia Leithold (1972): Si
limx→a f(x) = L1 y limx→a f(x) = L2, entonces L1 = L2.
- Las ideas manifestadas por los estudiantes fueron implícitas, en forma de comunicación, mas que
de argumentación, sin embargo el propósito de esta fase se cumplió con el grupo, y aunque
pudiera suponerse que el papel de la memoria en los estudiantes no fue tan sólido, en realidad
comprobamos que es, tal como lo estipula Brousseau (1997), mencionando que la administración
de la memoria como producto de esquema de negociación engloba la memoria del sistema
didáctico y no solo la memoria de los estudiantes.
- Con relación a la caracterización, y una vez activada la negociación de la memoria, encontramos
que la gran mayoría de los estudiantes recordaban de forma superficial los teoremas relacionados
con el concepto de límite, pero no los vincularon adecuadamente con el análisis de la expresión
propuesta, muchos de ellos no concluyeron como se esperaba con las condiciones que posee la
expresión con relación al rango y al ámbito, pues hubo un gran debate con relación al signo
negativo fuera del radical del denominador.
- Este debate se propuso como una situación de
formulación, ésta, como lo establece Brousseau (1997), se puede provocar partiendo de la
formalización progresiva (trabajo entre el docente y el grupo) a través del momento oportuno en
que los estudiantes van abordando cada noción que el tema incluye; los axiomas de campo de
los números Reales han sido un tema cuyo estudio es satisfactorio cuando se aborda como
preámbulo al estudiar, por ejemplo, la teoría de números o los temas de álgebra superior, sin
embargo los estudiantes tienden a no darle la importancia fundamental para justificar cualquier
proceso algebraico como algoritmo en otras ramas de la matemática, como es este caso,
descuidando su memorización, su aplicación, y por ende generando la confusión en el proceso de
solución...
- Esto nos permite reflexionar y comprobar que una formalización conceptual dentro de una
situación de formulación si se aborda muy pronto y con relación al significado atribuido al
lenguaje es notoriamente esencial para las situaciones de acción y de formulación más que si se
aborda al último de la fase, y con relación a los conceptos o ideas formuladas por los estudiantes
bajo el monitoreo docente, estas ideas no son aisladas unas de otras sino que funcionan
conjuntamente hacia el propósito deseado, (Brousseau 1997).
- Durante la aplicación de la
situación de validación se les propuso una pista, que consistió en cuatro respuestas al ejercicio
planteado: a) 0; b) -2; c) 2; d) indeterminado, siendo una de ellas la correcta. A pesar de esto,
algunos estudiantes lograron validar la respuesta correcta al ejercicio propuesto, y otros tantos no
consiguieron visualizar la relación de las pistas con el ejercicio. Lo que si comprobamos es lo
apuntado por Brousseau (1997) en relación con el hecho de que los resultados concretos son
imprecisos y reflejan en algunas ocasiones interrupciones de aprendizaje en el modelo, además,
cuando un grupo de estudiantes siente que tiene una guía (pistas en nuestro caso) éstas les dan la
confianza para generar conclusiones y darse cuenta si uno o algunos estudiantes muestran una
conclusión falsa, otra parte del grupo tiende a oponerse a esa opinión, formándose entonces una
discusión, en la que un grupo debe probar a los demás su opinión sobre la falsedad o no del
enunciado.
Finalmente, los mismos autores expresan: Queda claro que deben existir reglas (en este caso, los conceptos matemáticos) que le permiten al
grupo de estudiantes tomar decisiones acerca de aceptar o rechazar las pruebas producidas por
otro grupo de ellos, e inclusive, el solicitar nueva información matemática para continuar con la
validación. Para un análisis más eficaz, propusimos algunas respuestas esperadas para el
ejercicio además de un listado de consideraciones previas relacionadas con los saberes y
conocimientos que poseen los estudiantes, anotadas cuidadosamente en el diario de observación
de uno de nosotros, lo que permitió contrastar nuestras suposiciones con las observaciones
posteriores y las evidencias provenientes de los estudiantes.
Como se ve, observar y analizar las respuestas de los estudiantes a un problema matemático, en este caso de cálculo diferencial, es un tema fructífero para analizar.
Para concretar esta idea es recomendable tomar en cuenta diversos aspectos, tanto personales como profesionales, para que de allí se concrete en un protocolo de tesis y/o en un anteproyecto y finalmente terminar tu trabajo de tesis.
Para concretar esta idea es recomendable tomar en cuenta diversos aspectos, tanto personales como profesionales, para que de allí se concrete en un protocolo de tesis y/o en un anteproyecto y, finalmente terminar tu trabajo de tesis. Es importante que recibas un acompañamiento certero para que tu proceso de investigación por tesis sea lo mejor de lo mejor y yo, Xaab Nop Vargas Vásquez, editor de 1000 Ideas de tesis, puedo ser tu mentor y guía, te invito a revisar mi lista de servicios personalizados, estoy seguro que en mi persona encontrarás las herramientas necesarias y suficientes para que la tesis no sea un dolor de cabeza para ti. Atrévete a encaminar tu trabajo de investigación hacia la originalidad y alto impacto.
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Las siguientes lecturas te caerán de maravilla.
Bagni, G. (2005). Historical Roots of limit notion. Development of its representation registers and
cognitive development. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education,
5(4), 453-468.
Blázquez, S. (1999). Noción de límite en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales. Tesis de
doctorado, Universidad de Valladolid, España.
Blázquez, S. y Ortega, T. (2002). Nueva definición de límite funcional. Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 30, 67-84.
Blázquez, S., Ortega, T., Gatica, S. y Benegas, J. (2006). Una conceptualización de límite para el
aprendizaje inicial de análisis matemático de la universidad. Revista Latinoamericana de
Investigación en Matemática Educativa, 9(2), 189-209.
Bokhari, M. A. Y Yushau, B. (2006). Local (L, e)-approximation of a function of single variable: an
alternative way to define limit. International Journal of Mathematical Education in Science and
Technology, 37(5), 515-526.
Brousseau, G. (1980) Teoría de las Situaciones Didácticas
Bucari, N., Bertero, F. y Trípoli, M. (2007). Distintos enfoques para la enseñanza de la noción de límite en un primer curso de Cálculo, en:
http://www.fahce.unlp.edu.ar/academica/Areas/cienciasexactasynaturales/descargables/ponenciasen-
las-jornadas/bucari.pdf.
Cornu, B. (1983). Apprentissage de la notion de limite: conceptions et obstacles. Thèse de 3ème Cycle, Mathématiques, Université I de Grenoble, France.
Grevemaijer, K. P. E: (1995). Developing realistic mathematics instruction.Utrecht, Netherlands:
Freudenthal Institute.
Herrera, Salazar, Hernández y Trejo (2013) Noción de límite basada en la tipología de Brousseau. Memorias del I Congreso de Educación Matemática de América Central y el Caribe, pp. 1073 - 1084
Hitt, F. y Páez, R. (2003). Dificultades de aprendizaje del concepto de límite de una función en un punto. Revista Uno, (32), 97- 108.
Juter, K. (2006). Limits of functions as they developed through time and as students learn them today.
Mathematical thinking and learning, 8(4), pp. 407 – 431.
Panizza, M. (2004). Conceptos Básicos de la Teoría de las Situaciones Didácticas, en: Enseñar
matemáticas en el nivel inicial y el primer ciclo de la E.G.B.: Análisis y Propuestas. Paidos, pp.59-
71.
Sadovsky, P. (2005): La teoría de situaciones didácticas: un marco para pensar y actuar la ensañanza de la matemática, en Reflexiónes teóricas para la educación matemática, Buenos Aires, Libros Del
Zorzal.
Sánchez, C. (1997). Estudio estadístico sobre el proceso enseñanza–aprendizaje de la noción de límite de una función. Tesis de doctorado, Departamento de Estadística e Investigación Operativa,
Universidad de Granada, España.
Sánchez, C. y Contreras, A. (2000) Un estudio sobre la noción de límite de una función a través del
análisis de manuales de los siglos XIX y XX . En Cantoral, R. (ed) El futuro del cálculo
infinitesimal (pp 211-231). México: Grupo Editorial Iberoamérica SA de CV.
Sánchez, O. y Contreras, A. (1998). Análisis de manuales a través del tratamiento didáctico dado al
concepto de límite de una función: una perspectiva desde la noción de obstáculo. En Enseñanza de
las Matemáticas, V. 16, N0 1. p. 73—84.
Sierpinska, A. (1985). Obstacles epistemologiques relatifs a la notion de limite. Recherches en Didactique des Mathématiques, 6 (1), 5–67.
Sierpinska, A. (1987). Humanities students and epistemological obstacles related to limits. Educational Studies in Mathematics, 18 (4), 371–397.
Tall, D. y Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular
reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12 (2), 151–169.
