domingo, 18 de julio de 2021

Temas de Tesis en Didáctica de la Matemática

Temas de Tesis en Didáctica de la Matemática

on julio 18, 2021 0 Comment
Un conjunto de tema de tesis en didáctica de la Matemática

¿Tienes dudas sobre qué temas investigar? Aquí una lista para que continúes tu investigación. 

Tema de Tesis: Motivación y Actitudes hacia las Matemáticas

Tema de Tesis: Diseño de Clases

Tema de Tesis: Experiencias de Clases

Tema de Tesis: Bajo Rendimiento Escolar

Tema de Tesis: Entornos de Aprendizaje

Tema de Tesis: Evaluación

 Tema de Tesis: Demostraciones en Matemáticas

 Tema de Tesis: Estudio de Test

Tema de Tesis: Importancia de la Matemática

 Tema de Tesis: Modos de enseñanza

Tema de Tesis: Dificultades de los estudiantes

Tema de Tesis: Matemáticas y su relación con la cultura

Tema de Tesis: Tics en la Didáctica de la Matemática 

Tema de Tesis: Estudio de Creencias y Concepciones

Tema de Tesis: Historia de la Matemática

Tema de Tesis: Tradicionalismo educativo


Es importante que recibas un acompañamiento certero para que tu proceso de investigación por tesis sea lo mejor de lo mejor y yo, Xaab Nop Vargas Vásquez, editor de 1000 Ideas de tesis, puedo ser tu mentor y guía, te invito a revisar mi lista de servicios personalizados, estoy seguro que en mi persona encontrarás las herramientas necesarias y suficientes para que la tesis no sea un dolor de cabeza para ti. Atrévete a encaminar tu trabajo de investigación hacia la originalidad y alto impacto.
Idea 108 de 1000 ideas de tesis: ¿Cómo estudiar las respuestas de lo estudiantes a un problema de cálculo diferencial?

Idea 108 de 1000 ideas de tesis: ¿Cómo estudiar las respuestas de lo estudiantes a un problema de cálculo diferencial?

on julio 18, 2021 0 Comment
El aprendizaje del cálculo diferencial e integral presenta algunas aspectos interesantes desde el punto de vista de la investigación en Educación Matemática. Por ejemplo en el caso del concepto de límite, ¿Qué análisis realizan los estudiantes de un escuela formadora de docentes cuando se enfrentan con una función expresada como fracción común con radicales en el numerador y denominador? ¿Qué estrategias de solución proponen los estudiantes ante este tipo de situaciones?

Tema de tesis 108: Estudiar las respuestas de lo estudiantes a un problema de cálculo diferencial
Herrera, Salazar, Hernández y Trejo (2013) realizan un estudio en el que abordan el límite de una función expresada como fracción común con radicales en el numerador y denominador, para analizar las propuestas hechas por estudiantes del sexto semestre de la carrera, recategorizando en cuatro aspectos para conocer las dificultades que tuvieron, así como las estrategias de solución que utilizaron ya que en algunos casos sólo recordaban de forma superficial los teoremas relacionados con el concepto de límite.

Los mismos autores dan a conocer los resultados del análisis de las propuestas hechas por los estudiantes del sexto semestre de la licenciatura, a partir de cuatro categorías: a) interpretación de la expresión con base en los teoremas correspondientes a límites; b) condiciones necesarias y suficientes del rango y ámbito de la expresión; c) aplicación de los axiomas de campo del conjunto de los números reales para encontrar la solución; d) interpretación y solución de radicales.

Con base en esta categorización dan a conocer las dificultades que tuvieron los estudiantes así como las estrategias de solución que propusieron. Por ejemplo mencionan lo siguiente:

  1. Al solicitarle a los estudiantes que después de observar la expresión, se trabajara por parejas para explicar las características de la misma en términos de clasificar a la expresión numérica del numerador y del denominador en el conjunto de los números reales R. Notamos que el grupo observó e indagó el medio simbólico propuesto y en este sentido empezamos a abordar la noción de límite y explorar los antecedentes que justifican esta idea matemática, conceptos como: ε y δ; otra idea es el Teorema que estudia Leithold (1972): Si limx→a f(x) = L1 y limx→a f(x) = L2, entonces L1 = L2. 
  2. Las ideas manifestadas por los estudiantes fueron implícitas, en forma de comunicación, mas que de argumentación, sin embargo el propósito de esta fase se cumplió con el grupo, y aunque pudiera suponerse que el papel de la memoria en los estudiantes no fue tan sólido, en realidad comprobamos que es, tal como lo estipula Brousseau (1997), mencionando que la administración de la memoria como producto de esquema de negociación engloba la memoria del sistema didáctico y no solo la memoria de los estudiantes.
  3. Con relación a la caracterización, y una vez activada la negociación de la memoria, encontramos que la gran mayoría de los estudiantes recordaban de forma superficial los teoremas relacionados con el concepto de límite, pero no los vincularon adecuadamente con el análisis de la expresión propuesta, muchos de ellos no concluyeron como se esperaba con las condiciones que posee la expresión con relación al rango y al ámbito, pues hubo un gran debate con relación al signo negativo fuera del radical del denominador. 
  4. Este debate se propuso como una situación de formulación, ésta, como lo establece Brousseau (1997), se puede provocar partiendo de la formalización progresiva (trabajo entre el docente y el grupo) a través del momento oportuno en que los estudiantes van abordando cada noción que el tema incluye; los axiomas de campo de los números Reales han sido un tema cuyo estudio es satisfactorio cuando se aborda como preámbulo al estudiar, por ejemplo, la teoría de números o los temas de álgebra superior, sin embargo los estudiantes tienden a no darle la importancia fundamental para justificar cualquier proceso algebraico como algoritmo en otras ramas de la matemática, como es este caso, descuidando su memorización, su aplicación, y por ende generando la confusión en el proceso de solución...
  5. Esto nos permite reflexionar y comprobar que una formalización conceptual dentro de una situación de formulación si se aborda muy pronto y con relación al significado atribuido al lenguaje es notoriamente esencial para las situaciones de acción y de formulación más que si se aborda al último de la fase, y con relación a los conceptos o ideas formuladas por los estudiantes bajo el monitoreo docente, estas ideas no son aisladas unas de otras sino que funcionan conjuntamente hacia el propósito deseado, (Brousseau 1997). 
  6. Durante la aplicación de la situación de validación se les propuso una pista, que consistió en cuatro respuestas al ejercicio planteado: a) 0; b) -2; c) 2; d) indeterminado, siendo una de ellas la correcta. A pesar de esto, algunos estudiantes lograron validar la respuesta correcta al ejercicio propuesto, y otros tantos no consiguieron visualizar la relación de las pistas con el ejercicio. Lo que si comprobamos es lo apuntado por Brousseau (1997) en relación con el hecho de que los resultados concretos son imprecisos y reflejan en algunas ocasiones interrupciones de aprendizaje en el modelo, además, cuando un grupo de estudiantes siente que tiene una guía (pistas en nuestro caso) éstas les dan la confianza para generar conclusiones y darse cuenta si uno o algunos estudiantes muestran una conclusión falsa, otra parte del grupo tiende a oponerse a esa opinión, formándose entonces una discusión, en la que un grupo debe probar a los demás su opinión sobre la falsedad o no del enunciado.

Finalmente, los mismos autores expresan: Queda claro que deben existir reglas (en este caso, los conceptos matemáticos) que le permiten al grupo de estudiantes tomar decisiones acerca de aceptar o rechazar las pruebas producidas por otro grupo de ellos, e inclusive, el solicitar nueva información matemática para continuar con la validación. Para un análisis más eficaz, propusimos algunas respuestas esperadas para el ejercicio además de un listado de consideraciones previas relacionadas con los saberes y conocimientos que poseen los estudiantes, anotadas cuidadosamente en el diario de observación de uno de nosotros, lo que permitió contrastar nuestras suposiciones con las observaciones posteriores y las evidencias provenientes de los estudiantes.

Como se ve, observar y analizar las respuestas de los estudiantes a un problema matemático, en este caso de cálculo diferencial, es un tema fructífero para analizar.

Para concretar esta idea es recomendable tomar en cuenta diversos aspectos, tanto personales como profesionales, para que de allí se concrete en un protocolo de tesis y/o en un anteproyecto y finalmente terminar tu trabajo de tesis. 

Para concretar esta idea es recomendable tomar en cuenta diversos aspectos, tanto personales como profesionales, para que de allí se concrete en un protocolo de tesis y/o en un anteproyecto y, finalmente terminar tu trabajo de tesis. Es importante que recibas un acompañamiento certero para que tu proceso de investigación por tesis sea lo mejor de lo mejor y yo, Xaab Nop Vargas Vásquez, editor de 1000 Ideas de tesis, puedo ser tu mentor y guía, te invito a revisar mi lista de servicios personalizados, estoy seguro que en mi persona encontrarás las herramientas necesarias y suficientes para que la tesis no sea un dolor de cabeza para ti. Atrévete a encaminar tu trabajo de investigación hacia la originalidad y alto impacto.

Si te interesa este tema, te recomiendo lo siguiente:

  1. Elegir a un grupo de estudiantes.
  2. Elegir un problema de Matemáticas.
  3. Diseñar y aplicar tus instrumentos de colección de datos.
  4. Anotar tus observaciones y evidencias.
  5. Analizar tus datos.
  6. Realizar conclusiones de tus hallazgos
  7. Difundir tus resultados
  8. Disfrutar de investigar investigando. 
Las siguientes lecturas te caerán de maravilla. 


Bagni, G. (2005). Historical Roots of limit notion. Development of its representation registers and
cognitive development. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education,
5(4), 453-468.

Blázquez, S. (1999). Noción de límite en matemáticas aplicadas a las ciencias sociales. Tesis de
doctorado, Universidad de Valladolid, España.

Blázquez, S. y Ortega, T. (2002). Nueva definición de límite funcional. Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 30, 67-84.

Blázquez, S., Ortega, T., Gatica, S. y Benegas, J. (2006). Una conceptualización de límite para el
aprendizaje inicial de análisis matemático de la universidad. Revista Latinoamericana de
Investigación en Matemática Educativa, 9(2), 189-209.

Bokhari, M. A. Y Yushau, B. (2006). Local (L, e)-approximation of a function of single variable: an
alternative way to define limit. International Journal of Mathematical Education in Science and
Technology, 37(5), 515-526.

Brousseau, G. (1980) Teoría de las Situaciones Didácticas

Bucari, N., Bertero, F. y Trípoli, M. (2007). Distintos enfoques para la enseñanza de la noción de límite en un primer curso de Cálculo, en:
http://www.fahce.unlp.edu.ar/academica/Areas/cienciasexactasynaturales/descargables/ponenciasen-
las-jornadas/bucari.pdf.

Cornu, B. (1983). Apprentissage de la notion de limite: conceptions et obstacles. Thèse de 3ème Cycle, Mathématiques, Université I de Grenoble, France.

Grevemaijer, K. P. E: (1995). Developing realistic mathematics instruction.Utrecht, Netherlands:
Freudenthal Institute.

Herrera, Salazar, Hernández y Trejo (2013) Noción de límite basada en la tipología de Brousseau. Memorias del I Congreso de Educación Matemática de América Central y el Caribe, pp. 1073 - 1084

Hitt, F. y Páez, R. (2003). Dificultades de aprendizaje del concepto de límite de una función en un punto. Revista Uno, (32), 97- 108.

Juter, K. (2006). Limits of functions as they developed through time and as students learn them today.
Mathematical thinking and learning, 8(4), pp. 407 – 431.

Panizza, M. (2004). Conceptos Básicos de la Teoría de las Situaciones Didácticas, en: Enseñar
matemáticas en el nivel inicial y el primer ciclo de la E.G.B.: Análisis y Propuestas. Paidos, pp.59-
71.

Sadovsky, P. (2005): La teoría de situaciones didácticas: un marco para pensar y actuar la ensañanza de la matemática, en Reflexiónes teóricas para la educación matemática, Buenos Aires, Libros Del
Zorzal.

Sánchez, C. (1997). Estudio estadístico sobre el proceso enseñanza–aprendizaje de la noción de límite de una función. Tesis de doctorado, Departamento de Estadística e Investigación Operativa,
Universidad de Granada, España.

Sánchez, C. y Contreras, A. (2000) Un estudio sobre la noción de límite de una función a través del
análisis de manuales de los siglos XIX y XX . En Cantoral, R. (ed) El futuro del cálculo
infinitesimal (pp 211-231). México: Grupo Editorial Iberoamérica SA de CV.

Sánchez, O. y Contreras, A. (1998). Análisis de manuales a través del tratamiento didáctico dado al
concepto de límite de una función: una perspectiva desde la noción de obstáculo. En Enseñanza de
las Matemáticas, V. 16, N0 1. p. 73—84.

Sierpinska, A. (1985). Obstacles epistemologiques relatifs a la notion de limite. Recherches en Didactique des Mathématiques, 6 (1), 5–67.

Sierpinska, A. (1987). Humanities students and epistemological obstacles related to limits. Educational Studies in Mathematics, 18 (4), 371–397.

Tall, D. y Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular
reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12 (2), 151–169.
Eureka al cubo: Episodio 3, El proceso de investigación

Eureka al cubo: Episodio 3, El proceso de investigación

on julio 18, 2021 0 Comment

En esta charla Xaab Nop Vargas Vásquez director en jefe de www.1000ideasdetesis.com nos habla acerca del proceso de investigación. En él hace una diferenciación entre el proceso de investigación y el proceso de redacción que frecuentemente se confunde en los estudiantes que se encuentran inmersos en sus tesis de grado, licenciatura, maestría y doctorado. Conocer esta diferenciación les ayuda a que su proceso de formación hacia la investigación sea un proceso más fluido y que se eviten dolores de cabeza. Acompáñanos en esta emisión.


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Eureka al cubo: Episodio 2, Como elegir un buen tema de tesis

Eureka al cubo: Episodio 2, Como elegir un buen tema de tesis

on julio 18, 2021 0 Comment

En este episodio Xaab Nop Vargas Vásquez de 1000 Ideas de tesis nos habla de los factores a tomar en cuenta para la elección de un buen tema de tesis para disfrutar el proceso de investigación en la formación profesional, tanto de licenciatura, maestría como de doctorado, en el área de la educación, específicamente de educación matemática. En la sección el mago de la ideas, el Mago nos habla del tema de estrategias de aprendizaje para realizar un buen tema de tesis con originalidad y alto impacto, asimismo el Investigador Corazón nos da consejos para realizar un buen trabajo de tesis. Acompáñanos.


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Eureka al Cubo: Episodio 1, comunicar resultados de investigación

Eureka al Cubo: Episodio 1, comunicar resultados de investigación

on julio 18, 2021 0 Comment

Comunicar resultados de investigación

En este episodio. Xaab Nop Vargas Vásquez nos habla acerca del proceso de comunicar los resultados de investigación, las ventajas que ofrece el publicar nuestros trabajos en revistas académicas y científicas. Disfruta este Podcast con tu bebida favorita.



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Idea 107 de 1000 ideas de tesis: ¿Cómo estudiar el aprendizaje de la multiplicación desde el punto de vista semiótico cultural?

Idea 107 de 1000 ideas de tesis: ¿Cómo estudiar el aprendizaje de la multiplicación desde el punto de vista semiótico cultural?

on julio 18, 2021 0 Comment
Indagar acerca de los registros semióticos culturales que los estudiantes ponen en juego a la hora de resolver ciertas situaciones en los que se encuentra involucrado cierto concepto matemático es la idea de tesis 107. Y es que muchas de las acciones que realizan los estudiantes tienen que ver con los registros culturales que en ellos se encuentra presente.
Tema de tesis 107: Estudiar el aprendizaje de la multiplicación desde el punto de vista semiótico cultural
En una investigación realizada por Mojica (2013) se presentan los hallazgos iniciales de un estudio de investigación a nivel de maestría en el cual se estudian los medios semióticos de objetivación movilizados por estudiantes colombianos de sexto grado de educación básica cuando resuelven tareas
de tipo multiplicativo, analizados desde una perspectiva semiótico cultural y desde el análisis multimodal de la actividad matemática. En este estudio, el autor comparte la hipótesis de investigación que considera que los constructos de la teoría cultural de la objetivación pueden emplearse en distintos contexto de la enseñanza de las matemáticas. A decir del autor "dentro de los hallazgos de este trabajo, que se encuentra en una etapa inicial de pilotaje, se cuenta con algunas evidencias de la existencia de medios semióticos de objetivación que permiten ampliar la semiótica de lo multiplicativo y comprender las formas de reflexión de los estudiantes frente al objeto cultural de la multiplicación."

Aún en su etapa inicial, Mojica (2013) presenta algunos resultados:
  • En lo explorado hasta el momento algunos ejercicios iníciales parecen demostrar la existencia de unos medios semióticos de objetivación tales como señalamientos para hacer conteos, inscripciones para hacer repartos y signos lingüísticos que permiten una primera aproximación a lo semiótico de lo multiplicativo.
  • En la etapa de pilotaje y diseño de tareas, se hallan indicios de la movilización de recursos semióticos tales como los señalamientos y las inscripciones, que dan cuenta de signos intencionales que utilizan los estudiantes para acercarse a la lógica cultural de los objetos, tal es el caso del signo kinestésico de inscripción para hacer repartos de grupos iguales para resolver un problema de división.
  • Un segundo aspecto emergente en esta primera etapa de la investigación corresponde al signo kinestésico de señalamiento para indicar conteos de unidades simples y múltiples, en este medio semiótico de objetivación se acude a la práctica cultural de realizar conteos con los dedos, los cuales no solamente representan conteos de unidades simples sino de unidades múltiples que capturan la lógica de la multiplicación como conteos de grupos iguales. En este medio semiótico aun queda por explorar a través de entrevistas semiestructuradas las razones por las cuales los conteos con los dedos tienden a esconderse como si estuviera indicando una censura social y didáctica por el uso de este recurso semiótico.
  • Un tercer aspecto corresponde al signo lingüístico “por cada” utilizado para resolver una tarea de repartos proporcionales, término que permite evidenciar la captura la lógica de correspondencia entre elementos de un conjunto y otro en este tipo de problemas.
  • La evidencia inicial de la existencia de medios semióticos de objetivación en estudiantes con alguna experiencia con la multiplicación, insinúa la trascendencia de la TCO a otros dominios y hace manifiesta la necesidad de explorar en otros contextos los posibles recursos semióticos que hacen parte de la actividad matemática de manera que sea posible acercarnos a la comprensión de su naturaleza, incidencia y posible uso en las clases de matemáticas.
Como se observa, indagar sobre la evidencia de los medios semióticos en los estudiantes permite generar y tomar conciencia de los recursos que pone en juego el estudiante a la hora de resolver cierto problema o situación. Conocer tales medio impacta en la apreciación de docente acerca de las acciones que hace su estudiante cuando resuelve un ejercicio. Enmarcarse en esta línea de investigación se torna fructífera e interesante, puesto que disponemos de una gran cantidad de conceptos que se enseñan dentro del espacio escolar y de ellos podemos localizar sus registros semióticos culturales.

Para concretar esta idea es recomendable tomar en cuenta diversos aspectos, tanto personales como profesionales, para que de allí se concrete en un protocolo de tesis y/o en un anteproyecto y, finalmente terminar tu trabajo de tesis. Es importante que recibas un acompañamiento certero para que tu proceso de investigación por tesis sea lo mejor de lo mejor y yo, Xaab Nop Vargas Vásquez, editor de 1000 Ideas de tesis, puedo ser tu mentor y guía, te invito a revisar mi lista de servicios personalizados, estoy seguro que en mi persona encontrarás las herramientas necesarias y suficientes para que la tesis no sea un dolor de cabeza para ti. Atrévete a encaminar tu trabajo de investigación hacia la originalidad y alto impacto.

 Si te interesa este tema, te recomiendo:
  1. Elegir a un grupo de estudiantes.
  2. Elegir un contenido matemático.
  3. Diseñar tus actividades.
  4. Aplicar tus actividades.
  5. Colectar tus datos.
  6. Analizar tus datos.
  7. Difundir tus hallazgos.
  8. Disfrutar de investigar investigando.
Si de verdad te interesa, te recomiendo las siguientes lecturas.

Arzarello, F. (2006). Semiosis as a multimodal process. Revista Latinoamericana de Investigación en
Matemática Educativa, Special Issue on Semiotics, Culture, and Mathematical Thinking, 267-299.

Behr, M. J., Harel, G., Post, T., & Lesh, R. (1994). Units of quantity: A conceptual basis common to
additive and multiplicative structures. En G. Harel & J. Confrey (Eds.), The development of
multiplicative reasoning in the learning of mathematics (121–176). Albany, NY: State University
of New York Press.

Bosch, M. (1994). La dimensión ostensiva en la actividad matemática. El caso de la proporcionalidad. (Tesis doctoral). Universidad autónoma de Barcelona. España.

Lamon, S. (1994). Ratio and proportion: cognitive foundations in unitizing and normingn. En: Harel, G & Confrey, J (eds). The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. State university of New York press. New York.

Fischbein, E; Deri, M; Nello, M y Marino (1985). The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication and division. En: Journal for research in mathematics education.16 (1). 3-17.

García, G. & Serrano, C. (1999). La comprensión de la proporcionalidad, una perspectiva social y
cultural. Gaía. Bogotá

Godino, J & Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetos matemáticos. En:
Recherches en didactique des mathematiques. 14 (3).

Greer, B. (1992) “La división y la multiplicación como modelos de situaciones” En: Documento interno de trabajo. Licenciatura en educación básica con énfasis en matemáticas. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Bogotá D.C.

Grupo MESCUD, (2005). Pensamiento multiplicativo: Una mirada de su densidad y complejidad en su desarrollo en el aula. Informe de investigación. Colciencias.

Kress, G. & van Leeuwen, T. (2001). Multimodal discourse. the modes and media of contemporary
communication. Londres: Arnold.

Manghi, d. (2009). Coutilización de recursos semióticos para la regulación del conocimiento disciplinar. multimodalidad e intersemiosis en el discurso pedagógico de matemática en 1año de enseñanza media. Tesis doctoral. Valparaíso: PontificiaUniversidad Católica de Valparaíso. Chile.

Mojica, J. (2013). Procesos de objetivación en estudiantes de sexto grado de educación básica cuando
resuelven tareas de tipo multiplicativo. Anteproyecto de trabajo de grado de maestría no publicado. Universidad Distrital Francisco José de caldas. Bogotá, Colombia.

Mojica, J. (2013). Medios semióticos de objetivación en estudiantes de sexto grado cuando resuelven tareas de tipo multiplicativo. Memorias del I Congreso de Educación Matemática de América Central y del Caribe. Pp. 1051 - 1059

Radford, L. (2006). Elementos de una teoría cultural de la objetivación. Revista Latinoamericana de
Investigación en Matemática Educativa, número especial sobre semiótica, cultura y pensamiento
matemático. 103-129.

Radford, L. (2008). Semiótica cultural y cognición. In R. Cantoral, O. Covián, R. Farfán, J. Lezama & A. Romo (Eds.). Investigaciones sobre Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Un reporte
iberoamericano. (pp. 669-689). México: Diaz de Santos

Radford, L. (2011). La evolución de paradigmas y perspectivas en la investigación. El caso de la didáctica de las matemáticas. En J. Vallès, D. Álvarez y R. Rickenmann (Eds.), L’ctivitat docent intervenció, innovació, investigación. (pp. 33-49). Girona: Documenta Universitaria

Radford, L. (2013). Three key Concepts of the theory of objectification: Knowledge, knowing, and
learning. Journal of Research in Mathematics Education, 2 (1), 7-44

Steffe, L.(1994) Children ́s multiplying schemes. Cap. 1. In: Harel, G & Confrey, J (eds). The
development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. State university of New
York press. New York.

Tamayo, O. (2001). Evolución conceptual desde una perspectiva multimodal. Aplicación al concepto de respiración. Tesis doctoral. Universidad Autónoma de Barcelona. España.

Vergel, R. (2003). Perspectiva sociocultural del aprendizaje de la multiplicación. En Memorias XIV
Encuentro de Geometría y II de Aritmética. Universidad Pedagógica Nacional. Bogotá. Colombia.
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Vergel, R. (2012). Formas de pensamiento algebraico temprano en alumnos de cuarto y quinto grados de Educación Básica Primaria (9-10 años). Proyecto doctoral. Doctorado interinstitucional en
educación, énfasis en Educación Matemática. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Bogotá, Colombia.

Vergnaud, G. (1994). Multiplicative conceptual field: what and why?. En: Harel, G & Confrey, J (eds). The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. State university of
New York press. New York.

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